Не пугайтесь, это не совсем о математике.
Кто о чем, а мы об образовании… Математическом. Нет, не о том, что образование должно состоять исключительно из математики. А о том, что образование может строиться на математических принципах.
Вот уже 30 лет это не устает доказывать научный консультант «Ангстрем» Михаил Арест — магистр математики, кандидат психологических наук, автор необычного факультативного курса «Натуральная математика».
Настоящие размышления — это, говоря математическим языком, такой себе интеграл личной переписки Михаила Яковлевича с директором Лицея, происходившей с разной степенью интенсивности в течение нескольких месяцев. Здесь мы что-то сгладили, что-то обобщили и, надеемся, адекватно рассчитали «площадь» для понимания и развития нетривиального направления педагогики.

— Сколько пальцев я сейчас показываю?
— Два?
— Ладно. А сейчас сколько?
– Два… и еще один…
— А два и еще один будет?..
Детрит запаниковал. В дело пошла высшая математика.
Терри Пратчетт, «К оружию! К оружию»

Все думают, что математическое образование — это процесс обучения математике.
А я считаю, что это процесс освоения математических отношений и вижу математическое образование как инструмент в организации познавательной деятельности, поскольку и саму математику я рассматриваю, как теорию познания.
Поэтому предлагаю поменять пару «теория обучения (дидактика) — практика обучения (методика)» на пару — «теория познания (современная математика) — практика познания (математическое образование)».
Для меня математическое образование — это логический стержень, на который крепятся предметные знания.
Развитие ребенка начинается с рождения и потому математическое образование можно начинать когда угодно, даже с первого года жизни. Но при этом ни счет, ни цифра не являются главными. А вот развитие речи, умение читать и писать — это важно.
Вряд ли кто-то относит это к математическому образованию. Согласитесь, что это непривычно для педагогов.
Я начал говорить об этом 30 лет тому назад.
Некогда Энгельс (да простят меня сторонники десоветизации) сказал, что именно пространственные материальные формы (кубики) и количественные отношения между ними составляют основу математики. Такая философия математики — не что иное, как импульс к изучению математики в детском саду. Жаль, что этого никто не понял.
Я разработал систему познавательных уровней и построил с ее помощью психологию математического образования. Каждый возрастной уровень получил свой уровень абстракции и, таким образом, была выстроена логика развития абстракции в непрерывном образовании.
Идея непрерывности — это математическая (топологическая) идея, означающая связность или преемственность.
Поскольку в образовании принят только символический уровень, а образный служит в качестве вспомогательного, то преемственность эту поняли буквально: всюду посадили символы и для понимания подстраховали образами. Поэтому образ не получил самостоятельного значения.
К сожалению, в обычной школе все образовательные этапы работают автономно, что затрудняет ребенку познавательное развитие. Поэтому современное образование не меняет интеллект качественно, а только количественно.

Из школы никого не выгоняют, наоборот, из школы даже нельзя сбежать.
Славомир Мрожек, «Учителя»

Сегодня мы формируем мотивацию к математике с помощью кружков, викторин и олимпиад. Я называю такую мотивацию искусственной. У ребенка создается впечатление, что математика — это решение головоломок и хитрых задач.
Часто такое впечатление создает сам учитель математики, который не понимает, зачем нужна математика всем без исключения детям.
Не менее искусственная мотивация — подготовка к ЗНО. Здесь вообще все просто: выучил — сдал — забыл.
Мы не пользуемся математикой в жизни, потому что не знаем, как она работает.
Но в обучении она точно не работает. Мы получаем логические формы, не понимая их содержательного смысла. Форма заслонила содержание. В этом вся проблема.
Дети — прагматики и им нужно знать: это для чего? А если «надо», то кому?
Сам я искал смысл в математике буквально с 1 класса, но даже мой отец-математик не смог мне помочь этот смысл найти.
Я предлагаю поговорить о философии математического образования. Вообще говоря, существуют два подхода: идеалистический и материалистический.
Они связаны с отношением математического знания к предметному.

1.Идеалистический подход. Математическое знание отделяется от предметного и концентрируется в отдельный информационный ресурс. Так возникает предмет “математика”.
Математическое образование – процесс обучения математике. В этом процессе математическое знание передается в логической форме, часто лишенной содержания.
Чтобы показать рабочую часть математического знания специально придумывают учебные задачи, которые часто никак не связаны с жизнью.
Предметное знание лишается математической основы, а передача математического знания лишается целеполагания. Школьники и студенты, получающие математическое знание в чистом виде, не могут понять его предназначения, кроме как «зарядка для ума».
Это то, что мы сегодня делаем.

2.Материалистический подход. Математическое знание растворяется в предметном и потому предмета «математика» не возникает.
Математическое образование строится, как математическое моделирование — применение математического знания в предметном: математическая механика, математическая физика, математическая химия…
В этом случае профессионал должен применять математику в любой своей деятельности: юриспруденции, лингвистике, спорте, музыке, педагогике, психологии.

Элегантные решения ценятся в математике не только потому, что красивы, но и потому, что сильны. Проливаемый ими свет часто можно использовать для решения других задач.
Стивен Строгац, «Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны Вселенной»

Мы привыкли к передаче прошлого накопленного знания. Так учили наших предков и так учили нас. Но это становится бессмысленным в эпоху массовой информации.
Чему же учить тогда?
Добывать знания в коллективном творческом познании.
Нужно учить детей конструированию знания, учить строить задачи, а не брать готовые, написанные заботливыми дядями и тетями, учить создавать собственный учебник.
Но ведь ничему такому не учат в педвузах. Там все по-прежнему — дидактика и методика.
Что же делать? Обратиться к родителям и делать педагогов из них, создавать дистанционное семейное образование в семейных группах, создавать дистанционную родительскую школу раннего развития. Вряд ли можно найти более мотивированных людей, чем родители.
Понятно, что ломать традиционного учителя дело неблагодарное и неблагородное. В действительности, редкий учитель заинтересован в развитии ребенка.
Почему? А как это «развитие ребенка» измерить? Как составить рейтинги развития творчества? Учителя интересует усвоение материала и сдача экзамена — тогда все понятно про «качество знаний».
Среди современных учителей мало воспитателей, и в этом минус нашего общества. Детей нужно подталкивать, а не тащить их за ухо по древу познания.
Что такое педагог? Тот, кто отвечает на вопросы ребенка и, главное, стимулирует возникновение этих вопросов.
Так Сократ обучал Менона — греческий воспитатель развивал познавательный интерес у отпрыска римского патриция.
Этот подход сегодня фактически утрачен, ведь на протяжении долгого времени учитель был чуть ли не единственным носителем знания. Внимание: не тем, кто учит добывать знания, а тем, кто вбивает это знание в голову ученика. Качество работы учителя –  насколько хорошо по какой-то шкале усвоено какое-то количество определенного кем-то материала.
Вот в этом вся трагедия: мы не воспитываем, а обучаем.
Отсюда и подход к развитию: развиваем по государственным программам вместо того, чтобы развивать уже заложенное природой.
И так же диагностируем: насколько хорошо усвоил, а не насколько оригинально освоил. Мы вкладываем в голову знание, которое не востребовано. И диагностируем тоже неверно: качество продукта, а не качество деятельности.
Мы радуемся, что ребенок быстро усваивает, но ведь его интеллект — интеллект будущего, а мы подсаживаем этот интеллект на обработку прошлого знания.

Вам надо больше думать, вы об этом не думали?
Фредрик Бакман, «Тревожные люди»

В математическом образовании сейчас уделяют внимание технологиям, причем, сами методы ребёнок получает в виде готовых правил («и правило наизусть!»).
Ученик не знает о рождении числа, но лихо проводит операции с числами.
И так во всем.
Такая же практика и в старшей, и в высшей школе: учим работать с векторами и матрицами, с различными пространствами, не понимая, что это такие же структурированные множества, как слово, предложение, рисунок.
С таким подходом из процесса образования выпадает главное: мы не учим структурировать.
Но что такое структурировать?
Наделять множество системой отношений. Но именно отношение сегодня не работает в математическом образовании.
Эту идею я когда-то развил в статье “Нестандартный метод в математическом развитии дошкольников”. Я показал, что работать в детском саду нужно не с числами, а с количественными отношениями.
Но почему-то именно этому в современном образовании практически не уделяют внимания.
Поэтому мало кто умеет структурировать, а напрасно. Структурное мышление — это организация интеллекта.
Что показала сегодня Украина?
Творческий подход к военным операциям! И это снова доказывает правильность структурного подхода. Генерал Залужный — он переплюнул Герасимова, у которого учился; он регулярно демонстрирует творчество военной мысли.
Нет сомнения в том, что украинская армия станет лидером армии НАТО. Вот таких лидеров должно создавать украинское образование. Эти лидеры будут воспитывать новых лидеров, а не делать новые ракеты.
В офисе Зеленского люди с прекрасным структурным мышлением. Мне как математику их просто приятно слушать.
Так что современная математика — это общая теория развивающихся структур математических отношений. Вот и весь секрет.

Прошлое кивнуло, улыбнулось и зашагало дальше, в будущее.
Терри Пратчетт, «К оружию! К оружию!»

Никто никогда не говорит о связи математического образования с общим образованием.
Дело в том, что мы ориентировали математическое образование на «число» и «геометрическую фигуру», что в конечном счете привело нас к «математике величины».
А вот Блез Паскаль говорил: “Природа математического знания не содержится только в числе и величине”. Значит есть еще что-то, что уже содержит в себе число и величину.
Это “что-то” есть ни что иное, как структурированное множество и вот в этом главный смысл современной математики: нас окружают структурированные множества, которые развиваются.
Любая предметная область — это развивающаяся структура, а потому математика уже органично входит в эту предметную область.
Вот почему отдаляя математику от предметной области мы с одной стороны делаем схоластикой математическое образование, а с другой — превращаем предметное знание в неорганизованный набор фактов. Только организация таких фактов означает математизацию предметного знания.

Значит, математическое образование неотделимо от общего образования. Более того, математическое образование растворено и распределено в общем образовании и имеет разные функции для разных возрастных групп, начиная с детского сада.
Мы имеем инструмент для организации самопознания, что становится важнейшим именно для дистанционного образования, не скованного пространством и временем.
Будущее за дистанционным образованием.

С уважением, Михаил Арест